Calculateur de distribution binomiale
Calculez P(X = k), probabilités cumulées, espérance et variance pour une loi binomiale.
Essayez : n=10, p=0,5, k=5 · n=20, p=0,3, k=6 · n=100, p=0,25, k=25
À propos de la distribution binomiale
Qu'est-ce que la loi binomiale ?
Une variable aléatoire X suit une loi binomiale B(n, p) lorsqu'elle compte le nombre de succès dans n épreuves de Bernoulli indépendantes, chacune ayant une probabilité p de succès. Les quatre conditions requises sont : nombre fixe d'épreuves n, épreuves indépendantes, chaque épreuve a exactement deux issues (succès/échec), et la probabilité p est constante.
Loi de probabilité (fonction de masse)
La probabilité d'obtenir exactement k succès en n épreuves est : \[P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k},\quad k=0,1,\ldots,n\] Le terme \(\binom{n}{k}\) compte les arrangements, \(p^k\) est la probabilité des k succès, et \((1-p)^{n-k}\) celle des n−k échecs.
Fonction de répartition (CDF)
La probabilité d'obtenir au plus k succès est la somme cumulée : \[P(X\le k)=\sum_{i=0}^{k}\binom{n}{i}p^i(1-p)^{n-i}\] D'où \(P(X>k)=1-P(X\le k)\).
Espérance et variance
L'espérance et la variance de B(n, p) ont des formules fermées élégantes : \[\mu = np \qquad \sigma^2 = np(1-p) \qquad \sigma = \sqrt{np(1-p)}\] La distribution est symétrique autour de son espérance pour p = 0,5, asymétrique à droite pour p < 0,5 et à gauche pour p > 0,5.