Calculateur de coefficient binomial
Calculez les coefficients binomiaux (aussi appelés combinaisons ou « n parmi k ») instantanément. Trouvez le nombre de façons de choisir k éléments parmi n, visualisez la formule factorielle, suivez le calcul étape par étape et explorez le résultat dans le triangle de Pascal.
Essayez : C(5,2) · C(10,3) · C(52,5) · C(20,10)
À propos des coefficients binomiaux
Qu'est-ce qu'un coefficient binomial ?
Le coefficient binomial C(n, k), noté aussi \(\binom{n}{k}\) et lu « n parmi k », compte le nombre de façons de choisir k éléments parmi n éléments distincts sans tenir compte de l'ordre. Par exemple C(5, 2) = 10 : il y a 10 façons de choisir 2 cartes parmi 5.
La formule
La définition standard fait intervenir des factorielles : \[\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}\] La propriété de symétrie \(\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}\) est une conséquence directe. Choisir quels k éléments inclure revient à choisir lesquels des n − k restants exclure.
La règle de Pascal
Chaque entrée intérieure du triangle de Pascal vérifie la récurrence \[\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}\] avec les conditions aux bords \(\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1\). Cela permet de construire le triangle ligne par ligne sans calculer de factorielles.
Le théorème binomial
Les coefficients binomiaux apparaissent comme coefficients dans le développement d'une puissance de binôme : \[(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k\] Par exemple \((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\) ; les coefficients 1, 3, 3, 1 sont exactement la troisième ligne du triangle de Pascal.