Calculateur PGCD et PPCM
Entrez deux entiers ou plus séparés par des virgules (jusqu'à 1 000 milliards (10¹²) chacun). Vous verrez leur PGCD (Plus Grand Commun Diviseur), PPCM (Plus Petit Commun Multiple), l'algorithme d'Euclide détaillé et la méthode par factorisation.
Entiers de 1 à 10¹² (1 000 000 000 000), jusqu'à 6 valeurs.
À propos du PGCD et du PPCM
Qu'est-ce que le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) ?
Le PGCD de deux entiers ou plus est le plus grand entier positif qui les divise tous sans reste. Par exemple, PGCD(48, 180) = 12 car 12 est le plus grand entier qui divise à la fois 48 et 180.
Qu'est-ce que le PPCM (Plus Petit Commun Multiple) ?
Le PPCM de deux entiers ou plus est le plus petit entier positif qui est divisible par chacun d'eux. Par exemple, PPCM(48, 180) = 720 car 720 est le plus petit multiple commun de 48 et 180. Le PPCM est utilisé pour additionner des fractions de dénominateurs différents.
Questions fréquentes
PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) en français, GCD (Greatest Common Divisor) et GCF (Greatest Common Factor) en anglais américain, HCF (Highest Common Factor) en anglais britannique : tous désignent le même concept — le plus grand entier qui divise exactement deux nombres ou plus.
L'algorithme d'Euclide repose sur l'identité PGCD(a, b) = PGCD(b, a mod b). On remplace répétitivement le plus grand par le reste de la division, jusqu'à ce que le reste soit nul. Le dernier reste non nul est le PGCD. Pour PGCD(48, 180) : 180 = 48 × 3 + 36, puis 48 = 36 × 1 + 12, puis 36 = 12 × 3 + 0 → PGCD = 12.
Deux entiers sont premiers entre eux (ou coprimes) si leur PGCD vaut 1 — ils ne partagent aucun facteur premier commun. Par exemple, 35 = 5 × 7 et 64 = 2⁶ n'ont aucun facteur commun : PGCD(35, 64) = 1. Cette propriété est fondamentale en arithmétique modulaire et en cryptographie (RSA).
Pour deux entiers positifs A et B quelconques : PGCD(A, B) × PPCM(A, B) = A × B. Cela découle de la factorisation : le PGCD prend l'exposant minimum, le PPCM prend le maximum pour chaque premier, et min(e, f) + max(e, f) = e + f. Cette identité permet de calculer le PPCM rapidement : PPCM(A, B) = A × B ÷ PGCD(A, B).
On applique l'algorithme d'Euclide par itérations : PGCD(a, b, c) = PGCD(PGCD(a, b), c). Le résultat ne dépend pas de l'ordre. Ce calculateur prend en charge jusqu'à 6 valeurs simultanément.