Simplifier 580/360
La fraction 580/360 réduite à sa forme irréductible — deux méthodes complètes.
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Méthode 1 — PGCD (algorithme d'Euclide)
On divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD (Plus Grand Commun Diviseur). On calcule PGCD(580, 360) via l'algorithme d'Euclide.
| Étape 1 | 580 = 360 × 1 + 220 | |
| Étape 2 | 360 = 220 × 1 + 140 | |
| Étape 3 | 220 = 140 × 1 + 80 | |
| Étape 4 | 140 = 80 × 1 + 60 | |
| Étape 5 | 80 = 60 × 1 + 20 | |
| Étape 6 | 60 = 20 × 3 + 0 | → GCD = 20 |
Diviser les deux termes par PGCD = 20 :
360 ÷ 20 = 18
Méthode 2 — Division étape par étape
On divise successivement le numérateur et le dénominateur par le plus petit nombre premier qui les divise tous les deux, jusqu'à n'avoir plus de facteur commun.
| ÷ 2 | 580/360 → 290/180 |
| ÷ 2 | 290/180 → 145/90 |
| ÷ 5 | 145/90 → 29/18 |
Plus aucun facteur commun — la fraction est entièrement simplifiée.
Comment simplifier une fraction
Que signifie simplifier une fraction ?
Une fraction a/b est irréductible (sous sa forme la plus simple) quand le numérateur et le dénominateur n'ont pas d'autre facteur commun que 1, c'est-à-dire quand PGCD(a, b) = 1. Simplifier revient à diviser a et b par leur PGCD.
Méthode 1 — approche par le PGCD
On calcule PGCD(a, b) via l'algorithme d'Euclide (très rapide même pour de grands nombres), puis on divise : résultat = (a ÷ PGCD) / (b ÷ PGCD). Cette méthode donne la réponse en une seule étape. Utilisez le calculateur PGCD pour une analyse détaillée.
Méthode 2 — division étape par étape
On divise le numérateur et le dénominateur par le plus petit premier (2) tant que les deux sont divisibles, puis on passe à 3, à 5, etc. Cette méthode révèle la structure en facteurs premiers des facteurs communs et est facile à réaliser à la main. Elle est équivalente à factoriser le PGCD et à diviser un facteur premier à la fois.
Questions fréquentes
Comment simplifier une fraction étape par étape ?
Étape 1 : calculer le PGCD du numérateur et du dénominateur (par exemple avec l'algorithme d'Euclide). Étape 2 : diviser les deux par le PGCD. Exemple : 12/8 — PGCD(12,8)=4, donc 12÷4=3 et 8÷4=2, ce qui donne 3/2.
Qu'est-ce qu'une fraction irréductible ?
Une fraction est irréductible (ou sous forme la plus simple) quand son numérateur et son dénominateur n'ont aucun facteur commun autre que 1, c'est-à-dire quand PGCD = 1. Exemples : 3/2, 5/7 et 11/4 sont irréductibles ; 4/6 ne l'est pas (PGCD=2, se simplifie en 2/3).
Qu'est-ce que l'algorithme d'Euclide ?
L'algorithme d'Euclide calcule PGCD(a, b) via l'identité PGCD(a,b) = PGCD(b, a mod b), appliquée répétitivement jusqu'à ce que le reste soit nul. Il est très rapide — même pour des milliards, il ne faut qu'une dizaine d'étapes.
Peut-on toujours simplifier une fraction ?
Toute fraction peut être réduite à sa forme irréductible, mais certaines le sont déjà (PGCD=1). Par exemple, 7/3, 5/8 et 11/13 ne peuvent pas être simplifiées davantage car leur numérateur et dénominateur ne partagent aucun facteur commun.
Que se passe-t-il si le numérateur est plus grand que le dénominateur ?
Cet outil gère les fractions impropres (a > b) de la même façon. Par exemple, 18/4 : PGCD(18,4)=2, donc elle se simplifie en 9/2. La fraction 9/2 est une fraction impropre irréductible.