Factorielle 10 — Quelle est la valeur de 10! ?

Q: Combien de chiffres a 100! ?

100! a exactement 158 chiffres. On calcule ⌊log₁₀(100!)⌋ + 1 = ⌊∑ log₁₀(k) pour k=1 à 100⌋ + 1 = 157 + 1 = 158.

Q: De combien de façons peut-on mélanger un jeu de 52 cartes ?

Exactement 52! ≈ 8,07 × 1067 façons. Ce nombre est si astronomiquement grand que chaque mélange effectué dans l'histoire humaine est presque certainement unique.

Q: Quelle est la plus grande factorielle calculée exactement ?

Cet outil calcule les valeurs entières exactes jusqu'à 170! — la plus grande factorielle dont la valeur tient dans un flottant IEEE 754 double. 170! a 307 chiffres.

Q: Quel est le lien entre les factorielles et la fonction Gamma ?

La fonction Gamma Γ(z) généralise les factorielles aux nombres complexes : Γ(n+1) = n! pour tout entier non négatif n. On a notamment Γ(1/2) = √π et Γ(3/2) = √π/2.

10! — Résultats

Valeur exacte = 3 628 800

Nombre de chiffres = 7

Notation scientifique = 3,628800 × 10⁶

Approximation de Stirling ≈ 3,598696 × 10⁶

n! ≈ √(2πn) · (n/e)ⁿ

Tableau de voisinage de 10

Le tableau ci-dessous montre la croissance rapide des factorielles autour de 10.

n	n!	Chiffres	Facteur ×
8	40 320	5	× 8
9	362 880	6	× 9
10	3 628 800	7	× 10
11	39 916 800	8	× 11
12	479 001 600	9	× 12

Calculer une autre factorielle

Entiers de 0 à 170 (171! dépasse la précision IEEE 754 double).

À propos de 10!

10! = 3 628 800 — environ 3,6 millions. C'est le nombre de permutations de 10 objets distincts, et proche de 10^6,56.

Deux faits remarquables sur 10 !

1) 10! = 6! × 7!

On commence par factoriser 7! dans 10! :

10! = 7! × 8 × 9 × 10

Il suffit alors de montrer que 8 × 9 × 10 = 6!. On décompose en facteurs premiers chaque membre :

8 × 9 × 10 = 2³ × 3² × (2 × 5) = 2⁴ × 3² × 5
6! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 = 2¹ × 3 × 2² × 5 × (2 × 3) = 2⁴ × 3² × 5

Les deux membres valent 2⁴ × 3² × 5 = 720 ✓, donc :

10! = 7! × 6! = 6! × 7! ✓

2) 10! = le nombre exact de secondes dans 6 semaines

On compte les secondes dans 6 semaines étape par étape :

6 semaines	× 7 jours/semaine	= 42 jours
42 jours	× 24 heures/jour	= 1 008 heures
1 008 heures	× 60 min/heure	= 60 480 minutes
60 480 minutes	× 60 sec/min	= 3 628 800 secondes

6 × 7 × 24 × 60 × 60 = 3 628 800 = 10 ! ✓

Connexions avec d'autres domaines des mathématiques

Comme toutes les factorielles, 10! intervient dans le coefficient binomial C(10, k) = 10! / (k! · (10−k)!) pour tout 0 ≤ k ≤ 10. Il compte le nombre de sous-ensembles de k éléments d'un ensemble à 10 éléments. La ligne 10 du triangle de Pascal a pour somme 2¹⁰ = 1 024.

À propos des factorielles

Qu'est-ce qu'une factorielle ?

La factorielle d'un entier non négatif n, notée n!, est le produit de tous les entiers positifs de 1 à n. Par exemple, 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Par convention, 0! = 1 (produit vide).

À quelle vitesse les factorielles croissent-elles ?

Les factorielles croissent plus vite que toute fonction exponentielle. Tandis que 2ⁿ double à chaque étape, n! se multiplie par n — un facteur toujours croissant. Dès n = 100, on obtient 100! ≈ 9,33 × 10¹⁵⁷, et 170! atteint environ 7,26 × 10³⁰⁶.

Qu'est-ce que l'approximation de Stirling ?

La formule de Stirling permet d'estimer facilement les grandes factorielles : n! ≈ √(2πn) · (n/e)ⁿ. L'erreur relative est déjà inférieure à 1 % pour n = 10 et inférieure à 0,1 % pour n = 100. Elle est très utilisée en combinatoire, en mécanique statistique et en théorie de l'information.

Factorielles en combinatoire

Les factorielles dénombrent les permutations : n! est le nombre de façons d'arranger n objets distincts en ligne. Elles apparaissent aussi dans les combinaisons C(n,k) = n! / (k!(n−k)!), dans les séries de Taylor (le terme d'ordre n est divisé par n!) et dans la fonction Gamma : Γ(n+1) = n!.

Pourquoi 171! dépasse-t-il la limite ?

Les flottants IEEE 754 double précision peuvent représenter des valeurs jusqu'à ≈ 1,8 × 10³⁰⁸. Comme 170! ≈ 7,26 × 10³⁰⁶ est dans cette plage mais 171! ≈ 1,24 × 10³⁰⁹ ne l'est pas, 171! vaut Infinity dans la plupart des langages.

Questions fréquentes

Qu'est-ce que 0! (factorielle zéro) ?

0! = 1 par convention. Cela découle du produit vide : le produit d'aucun nombre donne l'identité multiplicative, 1. Cela garantit aussi que C(n,0) = n!/(0!·n!) = 1 reste cohérent pour tout n.

Combien de chiffres a 100! ?

100! a exactement 158 chiffres. On calcule ⌊log₁₀(100!)⌋ + 1 = ⌊∑ log₁₀(k) pour k=1 à 100⌋ + 1 = 157 + 1 = 158.

De combien de façons peut-on mélanger un jeu de 52 cartes ?

Exactement 52! ≈ 8,07 × 10⁶⁷ façons. Ce nombre est si astronomiquement grand que chaque mélange effectué dans l'histoire humaine est presque certainement unique.

Quelle est la plus grande factorielle calculée exactement ?

Cet outil calcule les valeurs entières exactes jusqu'à 170! — la plus grande factorielle dont la valeur tient dans un flottant IEEE 754 double. 170! a 307 chiffres.

Comment calcule-t-on le nombre de chiffres de n! sans calculer n! ?

Le nombre de chiffres est ⌊log₁₀(n!)⌋ + 1. Par les propriétés des logarithmes, log₁₀(n!) = ∑ log₁₀(k) pour k=1 à n. C'est calculable en O(n) sans arithmétique à précision arbitraire.

Quel est le lien entre les factorielles et la fonction Gamma ?

La fonction Gamma Γ(z) généralise les factorielles aux nombres complexes : Γ(n+1) = n! pour tout entier non négatif n. On a notamment Γ(1/2) = √π et Γ(3/2) = √π/2.