Factorielle 100 — Quelle est la valeur de 100! ?
100! — Résultats
Valeur exacte
=
9,3326215 × 10157 — Afficher la valeur complète
93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217599993229915608941463976156518286253697920827223758251185210916864000000000000000000000000
Nombre de chiffres
=
158
Notation scientifique
=
9,3326215 × 10157
Approximation de Stirling
≈
9,324848 × 10157
n! ≈ √(2πn) · (n/e)ⁿ
Tableau de voisinage de 100
Le tableau ci-dessous montre la croissance rapide des factorielles autour de 100.
Calculer une autre factorielle
Entiers de 0 à 170 (171! dépasse la précision IEEE 754 double).
À propos de 100!
100! — la factorielle centenaire — a 158 chiffres. Il est égal à Γ(101) et apparaît dans de nombreux problèmes de probabilités et de combinatoire impliquant 100 objets.
Connexions avec d'autres domaines des mathématiques
Comme toutes les factorielles, 100! intervient dans le coefficient binomial C(100, k) = 100! / (k! · (100−k)!) pour tout 0 ≤ k ≤ 100. Il compte le nombre de sous-ensembles de k éléments d'un ensemble à 100 éléments. La ligne 100 du triangle de Pascal a pour somme 2100 = 1 073 741 824….
À propos des factorielles
Qu'est-ce qu'une factorielle ?
La factorielle d'un entier non négatif n, notée n!, est le produit de tous les entiers positifs de 1 à n. Par exemple, 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Par convention, 0! = 1 (produit vide).
À quelle vitesse les factorielles croissent-elles ?
Les factorielles croissent plus vite que toute fonction exponentielle. Tandis que 2ⁿ double à chaque étape, n! se multiplie par n — un facteur toujours croissant. Dès n = 100, on obtient 100! ≈ 9,33 × 10157, et 170! atteint environ 7,26 × 10306.
Qu'est-ce que l'approximation de Stirling ?
La formule de Stirling permet d'estimer facilement les grandes factorielles : n! ≈ √(2πn) · (n/e)ⁿ. L'erreur relative est déjà inférieure à 1 % pour n = 10 et inférieure à 0,1 % pour n = 100. Elle est très utilisée en combinatoire, en mécanique statistique et en théorie de l'information.
Factorielles en combinatoire
Les factorielles dénombrent les permutations : n! est le nombre de façons d'arranger n objets distincts en ligne. Elles apparaissent aussi dans les combinaisons C(n,k) = n! / (k!(n−k)!), dans les séries de Taylor (le terme d'ordre n est divisé par n!) et dans la fonction Gamma : Γ(n+1) = n!.
Pourquoi 171! dépasse-t-il la limite ?
Les flottants IEEE 754 double précision peuvent représenter des valeurs jusqu'à ≈ 1,8 × 10308. Comme 170! ≈ 7,26 × 10306 est dans cette plage mais 171! ≈ 1,24 × 10309 ne l'est pas, 171! vaut
Infinity dans la plupart des langages.Questions fréquentes
0! = 1 par convention. Cela découle du produit vide : le produit d'aucun nombre donne l'identité multiplicative, 1. Cela garantit aussi que C(n,0) = n!/(0!·n!) = 1 reste cohérent pour tout n.
100! a exactement 158 chiffres. On calcule ⌊log₁₀(100!)⌋ + 1 = ⌊∑ log₁₀(k) pour k=1 à 100⌋ + 1 = 157 + 1 = 158.
Exactement 52! ≈ 8,07 × 1067 façons. Ce nombre est si astronomiquement grand que chaque mélange effectué dans l'histoire humaine est presque certainement unique.
Cet outil calcule les valeurs entières exactes jusqu'à 170! — la plus grande factorielle dont la valeur tient dans un flottant IEEE 754 double. 170! a 307 chiffres.
Le nombre de chiffres est ⌊log₁₀(n!)⌋ + 1. Par les propriétés des logarithmes, log₁₀(n!) = ∑ log₁₀(k) pour k=1 à n. C'est calculable en O(n) sans arithmétique à précision arbitraire.
La fonction Gamma Γ(z) généralise les factorielles aux nombres complexes : Γ(n+1) = n! pour tout entier non négatif n. On a notamment Γ(1/2) = √π et Γ(3/2) = √π/2.