Factorielle 111 — Quelle est la valeur de 111! ?
111! — Résultats
Valeur exacte
=
1,7629525 × 10180 — Afficher la valeur complète
1762952551090244663872161047107075788761409536026565516041574063347346955087248316436555574598462315773196047662837978913145847497199871623320096254145331200000000000000000000000000
Nombre de chiffres
=
181
Notation scientifique
=
1,7629525 × 10180
Approximation de Stirling
≈
1,761630 × 10180
n! ≈ √(2πn) · (n/e)ⁿ
Tableau de voisinage de 111
Le tableau ci-dessous montre la croissance rapide des factorielles autour de 111.
Calculer une autre factorielle
Entiers de 0 à 170 (171! dépasse la précision IEEE 754 double).
À propos de 111!
111! est égal à 111 × 110! = 111 × 1,5882455 × 10178. En combinatoire, 111! est le nombre de façons d'arranger 111 objets distincts en séquence — c'est le nombre de permutations d'un ensemble à 111 éléments.
Connexions avec d'autres domaines des mathématiques
Comme toutes les factorielles, 111! intervient dans le coefficient binomial C(111, k) = 111! / (k! · (111−k)!) pour tout 0 ≤ k ≤ 111. Il compte le nombre de sous-ensembles de k éléments d'un ensemble à 111 éléments. La ligne 111 du triangle de Pascal a pour somme 2111 = 1 073 741 824….
À propos des factorielles
Qu'est-ce qu'une factorielle ?
La factorielle d'un entier non négatif n, notée n!, est le produit de tous les entiers positifs de 1 à n. Par exemple, 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Par convention, 0! = 1 (produit vide).
À quelle vitesse les factorielles croissent-elles ?
Les factorielles croissent plus vite que toute fonction exponentielle. Tandis que 2ⁿ double à chaque étape, n! se multiplie par n — un facteur toujours croissant. Dès n = 100, on obtient 100! ≈ 9,33 × 10157, et 170! atteint environ 7,26 × 10306.
Qu'est-ce que l'approximation de Stirling ?
La formule de Stirling permet d'estimer facilement les grandes factorielles : n! ≈ √(2πn) · (n/e)ⁿ. L'erreur relative est déjà inférieure à 1 % pour n = 10 et inférieure à 0,1 % pour n = 100. Elle est très utilisée en combinatoire, en mécanique statistique et en théorie de l'information.
Factorielles en combinatoire
Les factorielles dénombrent les permutations : n! est le nombre de façons d'arranger n objets distincts en ligne. Elles apparaissent aussi dans les combinaisons C(n,k) = n! / (k!(n−k)!), dans les séries de Taylor (le terme d'ordre n est divisé par n!) et dans la fonction Gamma : Γ(n+1) = n!.
Pourquoi 171! dépasse-t-il la limite ?
Les flottants IEEE 754 double précision peuvent représenter des valeurs jusqu'à ≈ 1,8 × 10308. Comme 170! ≈ 7,26 × 10306 est dans cette plage mais 171! ≈ 1,24 × 10309 ne l'est pas, 171! vaut
Infinity dans la plupart des langages.Questions fréquentes
0! = 1 par convention. Cela découle du produit vide : le produit d'aucun nombre donne l'identité multiplicative, 1. Cela garantit aussi que C(n,0) = n!/(0!·n!) = 1 reste cohérent pour tout n.
100! a exactement 158 chiffres. On calcule ⌊log₁₀(100!)⌋ + 1 = ⌊∑ log₁₀(k) pour k=1 à 100⌋ + 1 = 157 + 1 = 158.
Exactement 52! ≈ 8,07 × 1067 façons. Ce nombre est si astronomiquement grand que chaque mélange effectué dans l'histoire humaine est presque certainement unique.
Cet outil calcule les valeurs entières exactes jusqu'à 170! — la plus grande factorielle dont la valeur tient dans un flottant IEEE 754 double. 170! a 307 chiffres.
Le nombre de chiffres est ⌊log₁₀(n!)⌋ + 1. Par les propriétés des logarithmes, log₁₀(n!) = ∑ log₁₀(k) pour k=1 à n. C'est calculable en O(n) sans arithmétique à précision arbitraire.
La fonction Gamma Γ(z) généralise les factorielles aux nombres complexes : Γ(n+1) = n! pour tout entier non négatif n. On a notamment Γ(1/2) = √π et Γ(3/2) = √π/2.