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L'écart-type expliqué

L'écart-type mesure à quel point les valeurs sont dispersées autour de la moyenne. Un écart-type faible signifie que les données sont regroupées près de la moyenne ; un écart-type élevé indique une grande dispersion. C'est la mesure de variabilité la plus utilisée en statistiques.

Les deux formules

Écart-type de population (σ, sigma) — à utiliser quand vous disposez de toute la population :

σ = √[ Σ(xᵢ − μ)² / N ]

Écart-type d'échantillon (s) — à utiliser quand vous analysez un sous-ensemble :

s = √[ Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1) ]

La division par n − 1 (correction de Bessel) corrige le biais lors de l'estimation de l'écart-type de la population à partir d'un échantillon. Pour la plupart des analyses, utilisez la formule d'échantillon.

Calcul pas à pas

Données : 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 (n = 8)

Calculer la moyenne : (2+4+4+4+5+5+7+9) / 8 = 40/8 = 5
Soustraire la moyenne et élever au carré :
(2−5)² = 9, (4−5)² = 1 (×3), (5−5)² = 0 (×2), (7−5)² = 4, (9−5)² = 16
Sommer les carrés des écarts : 9+1+1+1+0+0+4+16 = 32
Variance de population : 32/8 = 4
Racine carrée : √4 = 2

Écart-type de population = 2. (Échantillon : diviser par 7 → √(32/7) ≈ 2,14)

La règle 68–95–99,7

Pour les données suivant une distribution normale, presque toutes les valeurs se situent à un nombre prévisible d'écarts-types de la moyenne :

68 % des valeurs sont dans μ ± 1σ
95 % dans μ ± 2σ
99,7 % dans μ ± 3σ

Exemple : le QI suit une distribution normale avec μ = 100 et σ = 15. Environ 95 % des personnes ont un QI compris entre 70 et 130 (100 ± 2×15).

Écart-type vs variance

La variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne. L'écart-type est la racine carrée de la variance.

Pourquoi préférer l'écart-type ? Parce que la variance est exprimée en unités au carré (m², €²) difficiles à interpréter. L'écart-type est exprimé dans la même unité que les données d'origine (mètres, euros), ce qui le rend immédiatement lisible. Calculez-le instantanément avec le calculateur de statistiques.

Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'un « bon » écart-type ?

Il n'existe pas de seuil universel — tout dépend du contexte. Un écart-type de 5 cm est négligeable pour des altitudes de montagnes mais énorme pour la taille d'un nouveau-né. Interprétez toujours l'écart-type par rapport à la moyenne et au domaine étudié.

Pourquoi élever les écarts au carré ?

Pour rendre toutes les différences positives (elles ne s'annulent pas) et pour pondérer davantage les grands écarts. La racine carrée finale ramène le résultat dans l'unité d'origine.

Qu'est-ce que le coefficient de variation (CV) ?

CV = (écart-type / moyenne) × 100 %. Il exprime la dispersion en pourcentage de la moyenne, permettant de comparer la variabilité entre des séries d'unités ou d'ordres de grandeur différents.

Pourquoi diviser par n−1 pour l'écart-type d'échantillon ?

Diviser par n sous-estime la variance réelle de la population (estimateur biaisé). La correction de Bessel (n−1) produit un estimateur non biaisé. Avec de grands échantillons, la différence est négligeable ; avec de petits échantillons, elle est significative.

Qu'est-ce que l'erreur standard ?

Erreur standard = écart-type / √n. Elle mesure combien la moyenne d'échantillon est censée varier autour de la vraie moyenne de population. Plus l'échantillon est grand, plus l'erreur standard est petite.

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